حاسبة التباديل والتوافيق
بكم طريقة يمكن اختيار k عنصرًا من n؟ تجيب هذه الحاسبة عن الصيغتين معًا: التوافيق C(n, k) = n! / (k!(n−k)!) عندما لا يهم ترتيب الاختيار، والتباديل P(n, k) = n! / (n−k)! عندما يهم. ويُعرض المضروبان n! وk! بجانبهما. تُحسب القيم عبر دالة لوغاريتم غاما، فلا تفيض المدخلات الكبيرة ولا يضيع الجواب: النتائج دون 10¹⁵ أعداد صحيحة دقيقة، وما فوقها ينتقل إلى الترميز العلمي. الاستخدامات الكلاسيكية: حظوظ اليانصيب (C(49, 6))، وكلمات المرور والترتيبات (التباديل)، واختيار اللجان، وأيدي الورق مثل C(52, 5) = 2,598,960.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التبديل والتوفيق؟
تعدّ التوافيق الاختيارات التي لا يهم فيها الترتيب (لجنة من 3 أشخاص)؛ بينما تعدّ التباديل الترتيبات التي يهم فيها الترتيب (ذهب-فضة-برونز بين 3 فائزين). اختيار 3 من 10 يعطي C(10,3) = 120 توفيقًا لكن P(10,3) = 720 تبديلًا — أي أكثر بمقدار 3! = 6 مرات بالضبط.
ما صيغتا nCr وnPr؟
C(n, k) = n! / (k! (n−k)!) وP(n, k) = n! / (n−k)!. وتربطهما العلاقة P(n, k) = C(n, k) · k!: تُختار العناصر k أولًا ثم تُرتب بكل الطرق الممكنة. وبالاصطلاح C(n, 0) = P(n, 0) = 1 و0! = 1.
كيف أعرف إن كان الترتيب مهمًا في مسألتي؟
اسأل: هل يؤدي تبديل عنصرين مختارين إلى نتيجة مختلفة؟ أرقام اليانصيب وإضافات البيتزا واللجان: لا → توافيق. رموز PIN ومنصات التتويج وترتيبات الجلوس: نعم → تباديل. وإذا كان يمكن للعناصر أن تتكرر أيضًا فستحتاج إلى صيغ "مع التكرار" (nᵏ للسحب المرتب).